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2015年初中毕业学业考试标准·数学
来源:转贴 作者:网站管理 点击数:[805] 更新时间:2015年03月10日 字体:【

湖南省初中毕业学科学业考试标准(修订)
 
                       数 学    
一、考试指导思想
初中毕业数学学业考试是依据《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《数学课程标准》)进行的义务教育阶段数学学科的终结性考试。初中毕业数学学业考试要有利于全面贯彻国家教育方针,推进素质教育;有利于体现九年义务教育的性质,全面提高教育教学质量;有利于数学课程改革,培养学生的创新精神和实践能力;有利于减轻学生过重的课业负担,促进学生生动、活泼、主动地学习。
    初中毕业数学学业考试命题应当根据学生的年龄特征、思维特点、数学背景和生活经验编制试题,面向全体学生,使具有不同认知特点、不同数学发展程度的学生都能正常表现自己的学习状况。初中毕业数学学业学业考试要求公正、客观、全面、准确地评价学生通过初中阶段的数学学习所获得的发展状况。
初中毕业数学学业考试要重视对学生初中阶段数学学习的结果与过程的评价,重视对学生数学思考能力和解决问题能力的发展性评价,重视对学生数学认知水平的评价;初中毕业数学学业考试试卷要有效发挥选择题、填空题、计算(求解)题、证明题、开放性问题、应用性问题、阅读分析题、探索性问题及其它各种题型的功能;试题设计必须与其评价的目标相一致,加强对学生思维水平与思维特征的考查,使试题的解答过程体现《数学课程标准》所倡导的数学活动方式,如观察、实验、猜测、验证、推理等等。
 
二、考试内容和要求
   (一)考试内容
    初中毕业数学学业考试应以《数学课程标准》所规定的四大学习领域,即数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践的内容为依据,主要考查学生在知识技能、数学思考和问题解决三个方面的发展状况。
1.知识技能
    体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数;掌握必要的运算(包括估算)技能;探索具体问题中的数量关系和变化规律,掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。
探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定,掌握基本的证明方法和基本的作图技能;探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称;认识投影与视图;探索并理解平面直角坐标系,能确定位置。   
 
体验数据收集、处理、分析和推断过程,理解抽样方法,体验用样本估计总体的过程;进一步认识随机现象,能计算一些简单事件的概率。
2.数学思考
通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程,体会模型的思想,建立符号意识;在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中,进一步发展空间观念;经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观。   
了解利用数据可以进行统计推断,发展建立数据分析观念;感受随机现象的特点。
    体会通过合情推理探索数学结论,运用演绎推理加以证明的过程,在多种形式的数学活动中,发展合情推理与演绎推理的能力。
能独立思考,体会数学的基本思想和思维方式。
3.问题解决
    初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力。
    经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程,体验解决问题方法的多样性,掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
    (二)考试要求
    《数学课程标准》阐述的教学要求具体分以下几个层次
    知识技能要求:
    1)了解:从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征;根据对象的特征,从具体情境中辨认或者举例说明对象。
    2)理解:描述对象特征和由来阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。
    3)掌握:在理解的基础上,把对象用于新的情境。
    4)运用:综合使用已掌握的对象,选择或创造适当的方法解决问题。
    过程性要求:
    5)经历:在特定的数学活动中,获得一些感性认识。
    6)体验:参与特定的数学活动,主动认识或验证对象的特征,获得一些经验。
    7)探索:独立或与他人合作参与特定的数学活动,理解或提出问题,寻求解决问题的思路,发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系,获得一定的理性认识。
这些要求从不同角度表明了初中毕业数学学业考试要求的层次性。
    (三)具体内容与考试要求细目列表
    (表中“考试要求”栏中的序号和“(二)2.”中的“教学要求”规定一致)
   
知识技能要求
过程性要求
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
数 与 式
有理数的意义,用数轴上的点表示有理数
 
 
 
 
 
 
相反数、绝对值的意义
 
 
 
 
 
 
求相反数、绝对值,有理数的大小比较
 
 
 
 
 
 
乘方的意义
 
 
 
 
 
 


 
   
知识技能要求
过程性要求
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
 
有理数加、减、乘、除、乘方及简单混合运算(三步为主),运用运算律进行简化运算
 
 
 
 
 
 
运用有理数的运算解决简单问题
 
 
 
 
 
 
平方根、算术平方根、立方根的概念及其表示
 
 
 
 
 
 
用平方运算求百以内整数的平方根,用立方运算求百以内整数的立方根,用计算器求平方根与立方根
 
 
 
 
 
 
无理数和实数的概念,实数与数轴上的点一一对应
 
 
 
 
 
 
实数的相反数和绝对值
 
 
 
 
 
 
用有理数估计一个无理数的大致范围
 
 
 
 
 
 
近似数的概念
 
 
 
 
 
 
用计算器进行近似计算,并按问题的要求对结果取近似值
 
 
 
 
 
 
二次根式、最简二次根式的概念
 
 
 
 
 
 
二次根式(根号下仅限于数字)的加、减、乘、除运算
 
 
 
 
 
 
实数的简单四则运算(不要求分母有理化)
 
 
 
 
 
 
用字母表示数,列代数式表示简单问题的数量关系
 
 
 
 
 
 
代数式的实际意义与几何背景
 
 
 
 
 
 
求代数式的值
 
 
 
 
 
 
整数指数幂及其性质
 
 
 
 
 
 
用科学记数法表示数(含计算器)
 
 
 
 
 
 
整式的概念(整式、单项式、多项式)
 
 
 
 
 
 
合并同类项和去括号的法则
 
 
 
 
 
 
整式的加、减、乘(其中的多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)运算
 
 
 
 
 
 
乘法公式的推导和几何背景及简单计算
 
 
 
 
 
 
因式分解的概念
 
 
 
 
 
 
用提公因式法、公式法(直接用公式不超过2次)进行因式分解(指数是正整数)
 
 
 
 
 
 
分式和最简分式的概念
 
 
 
 
 
 
约分、通分
 
 
 
 
 
 
简单分式的运算(加、减、乘、除)
 
 
 
 
 
 
估计方程的解
 
 
 
 
 
 
等式的基本性质
 
 
 
 
 
 
一元一次方程及解法
 
 
 
 
 
 
二元一次方程组及解法
 
 
 
 
 
 
可化为一元一次方程的分式方程(方程中分式不超过2个)及解法
 
 
 
 
 
 


 
   
知识技能要求
过程性要求
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
 
一元二次方程(数字系数)的解法(配方法、公式法、因式分解法)
 
 
 
 
 
 
一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等
 
 
 
 
 
 
根据具体问题中的数量关系列方程(组)并解决实际问题
 
 
 
 
 
根据具体问题的实际意义,检验方程(组)的解是否合理
 
 
 
 
 
 
根据具体问题中的数量关系列一元一次不等式并解决简单实际问题
 
 
 
 
 
 
不等式的基本性质
 
 
 
 
 
解一元一次不等式
 
 
 
 
 
 
解由两个一元一次不等式(组)组成的不等式组
 
 
 
 
 
 
用数轴表示一元一次不等式(组)的解集
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
简单实际问题中的函数关系的分析
 
 
 
 
 
 
具体问题中的数量关系及变化规律
 
 
 
 
 
 
常量、变量的意义
 
 
 
 
 
 
函数的概念及三种表示法
 
 
 
 
 
 
简单函数及简单实际问题中的函数的自变量取值范围,函数值
 
 
 
 
 
 
使用适当的函数表示法,刻画实际问题中变量之间的关系
 
 
 
 
 
 
结合对函数关系的分析,对变量的变化情况进行初步讨论
 
 
 
 
 
 
一次函数的意义及表达式
 
 
 
 
 
一次函数的图象及性质
 
 
 
 
 
正比例函数
 
 
 
 
 
 
用待定系数法确定一次函数的表达式
 
 
 
 
 
 
一次函数与二元一次方程的关系
 
 
 
 
 
 
用一次函数解决实际问题
 
 
 
 
 
 
反比例函数的意义及表达式
 
 
 
 
 
反比例函数的图象及性质
 
 
 
 
 
用反比例函数解决简单实际问题
 
 
 
 
 
 
二次函数的意义及表达式
 
 
 
 
 
二次函数的图象及性质
 
 
 
 
 
 
确定二次函数图象的顶点坐标、开口方向及其对称轴
 
 
 
 
 
 
用二次函数解决简单实际问题
 
 
 
 
 
 
用二次函数图象求一元二次方程的近似解
 
 
 
 
 
 


 
图形的认识
点、线、面
 
 
 
 
 
 
比较线段的长短、线段的和、差以及线段中点的意义
 
 
 
 
 
 
“两点确定一条直线”,“两点之间线段最短”
 
 
 
 
 
 
两点间距离的意义,度量两点间的距离
 
 
 
 
 
 
角的概念
 
 
 
 
 
 
角的大小比较,角的和与差的计算
 
 
 
 
 
 
角的单位换算
 
 
 
 
 
 
角平分线及其性质
 
 
 
 
 
 
补角、余角、对顶角的概念
 
 
 
 
 
 
对顶角相等、同角或等角的余角(补角)相等
 
 
 
 
 
垂线、垂线段的概念、画法及性质,点到直线的距离
 
 
 
 
 
“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”
 
 
 
 
 
 
线段垂直平分线及性质
 
 
 
 
 
同位角、内错角、同旁内角
 
 
 
 
 
 
平行线的概念
 
 
 
 
 
 
“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”
 
 
 
 
 
 
平行线的性质和判定
 
 
 
 
 
平行线间的距离
 
 
 
 
 
画平行线
 
 
 
 
 
 
三角形的有关概念
 
 
 
 
 
 
三角形的内角和定理及其推论
 
 
 
 
 
 
三角形的任意两边之和大于第三边
 
 
 
 
 
 
画任意三角形的角平分线、中线、高
 
 
 
 
 
 
三角形的稳定性
 
 
 
 
 
 
三角形中位线的性质
 
 
 
 
 
全等三角形的概念
 
 
 
 
 
 
全等三角形中的对应边、对应角
 
 
 
 
 
 
两个三角形全等的性质和判定
 
 
 
 
 
等腰三角形的有关概念
 
 
 
 
 
 
等腰三角形的性质及判定
 
 
 
 
 
等边三角形的性质及判定
 
 
 
 
 
直角三角形的概念
 
 
 
 
 
 


 
   
知识技能要求
过程性要求
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
 
直角三角形的性质及判定
 
 
 
 
 
勾股定理及其逆定理的运用
 
 
 
 
 
三角形重心的概念
 
 
 
 
 
 
多边形的有关概念
 
 
 
 
 
 
多边形的内角和与外角和公式
 
 
 
 
 
正多边形的概念
 
 
 
 
 
 
平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及它们之间的关系
 
 
 
 
 
 
平行四边形的性质及判定
 
 
 
 
 
矩形、菱形、正方形的性质及判定
 
 
 
 
 
 
圆及其有关概念
 
 
 
 
 
 
弧、弦、圆心角的关系
 
 
 
 
 
 
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
 
 
 
 
 
圆的性质,圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征
 
 
 
 
 
圆内接四边形的对角互补
 
 
 
 
 
 
三角形的内心与外心
 
 
 
 
 
 
切线的概念
 
 
 
 
 
 
切线的性质与判定
 
 
 
 
 
弧长公式,扇形面积公式
 
 
 
 
 
 
正多边形与圆的关系
 
 
 
 
 
 
圆锥的侧面积和全面积
 
 
 
 
 
 
利用尺规基本作图
 
 
 
 
 
 
利用基本作图作三角形
 
 
 
 
 
 
过平面上的点作圆
 
 
 
 
 
尺规作图的步骤(已知、求作)
 
 
 
 
 
 
图形与变换
基本几何体的三视图
 
 
 
 
 
 
基本几何体与其三视图、展开图之间的关系
 
 
 
 
 
 
直棱柱、圆锥的侧面展开图,根据展开图想象和制作实物模型
 
 
 
 
 
中心投影和平行投影
 
 
 
 
 
 
轴对称的概念
 
 
 
 
 
 
轴对称的基本性质
 
 
 
 
 
利用轴对称作图,简单图形间的轴对称关系
 
 
 
 
 


 
   
知识技能要求
过程性要求
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
 
基本图形的轴对称性及其相关性质
 
 
 
 
 
轴对称图形的欣赏
 
 
 
 
 
 
平移的概念,平移的基本性质
 
 
 
 
 
旋转的概念,旋转的基本性质
 
 
 
 
 
平行四边形、圆的中心对称性
 
 
 
 
 
 
中心对称、中心对称图形的概念和基本性质
 
 
 
 
 
轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用
 
 
 
 
 
用轴对称、平移和旋转进行图案设计
 
 
 
 
 
 
比例的基本性质,线段的比,成比例线段,黄金分割
 
 
 
 
 
 
图形的相似
 
 
 
 
 
 
相似图形的性质
 
 
 
 
 
两个三角形相似的性质及判定,直角三角形相似的判定
 
 
 
 
 
位似及应用
 
 
 
 
 
 
相似的应用
 
 
 
 
 
 
锐角三角函数(正弦、余弦、正切)
 
 
 
 
 
 
特殊角(30°、45°、60°)的三角函数值
 
 
 
 
 
 
使用计算器求已知锐角三角函数的值,由已知三角函数值求它对应的锐角
 
 
 
 
 
 
锐角三角函数的简单应用
 
 
 
 
 
 
图形与坐标
平面直角坐标系;在给定的直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标
 
 
 
 
 
 
建立适当的直角坐标系描述物体的位置
 
 
 
 
 
 
图形的变换与坐标的变化
 
 
 
 
 
在平面上用方位角和距离刻画两个物体的相对位置
 
 
 
 
 
 
用不同的方式描述图形的运动或者坐标的规律、确定物体的位置
 
 
 
 
 
 
图形与证明
证明的必要性
 
 
 
 
 
 
定义、命题、定理的含义,互逆命题的概念
 
 
 
 
 
 
反例的作用及反例的应用
 
 
 
 
 
 
反证法的含义
 
 
 
 
 
 
证明的格式及依据
 
 
 
 
 
 
全等三角形的性质定理和判定定理
 
 
 
 
 
 
平行线的性质定理和判定定理
 
 
 
 
 
 
三角形的内角和定理及推论
 
 
 
 
 
 


 
   
知识技能要求
过程性要求
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
 
直角三角形全等的判定定理
 
 
 
 
 
 
角平分线性质定理及逆定理
 
 
 
 
 
 
垂直平分线性质定理及逆定理
 
 
 
 
 
 
三角形中位线定理
 
 
 
 
 
 
等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理
 
 
 
 
 
 
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理
 
 
 
 
 
 
         
数据的收集、整理、描述和分析,用计算器处理较复杂的统计数据
 
 
 
 
 
体会抽样的必要性,通过实例了解简单随机
抽样
 
 
 
 
 
 
总体、个体、样本的概念
 
 
 
 
 
制作扇形统计图,用统计图直观、有效地描述数据
 
 
 
 
 
 
理解平均数的意义,能计算中位数、众数、加权平均数,了解它们是数据集中趋势的描述
 
 
 
 
 
 
一组数据的离散程度的表示,方差的计算
 
 
 
 
 
频数、频率的概念
 
 
 
 
 
 
画频数分布直方图和频数折线图,并解决简单实际问题
 
 
 
 
 
 
频数分布的意义和作用
 
 
 
 
 
 
用样本估计总体的思想,用样本的平均数、方差估计总体的平均数和方差
 
 
 
 
 
根据统计结果作出合理的判断和预测,统计对决策的作用
 
 
 
 
 
应用统计知识与技能,解决简单的实际问题
 
 
 
 
 
 
   
概率的意义
 
 
 
 
 
 
用列举法求简单事件的概率
 
 
 
 
 
 
通过大量重复试验,可以用频率来估计概率
 
 
 
 
 
 
综合与实践
结合实际情境,经历设计解决具体问题的方案,并加以是实施的过程,体验建立数学模型、解决问题的过程,并在此过程中,尝试发现和提出问题。
 
 
 
 
 
 
会反思参与活动的全过程,将研究的课程和结果形成报告或小论文,并能进行交流,进一步获得数学活动经验。
 
 
 
 
 
 
通过对有关问题的探讨,了解所学知识(包括其他学科知识)之间的关联,进一步理解有关知识,发展应用意识和能力。
 
 
 
 
 
 
三、试卷结构
(一)题型结构
    1.填空题:8-10小题,占分比例约为20%;
    2.选择题:8-10小题,占分比例约为20%;
    3.解答题:8-10个小题,占分比例约为60%,解答题包括计算题、证明题、应用性问题、实践操作题、拓展探究题等不同形式。命题时应设计结合现实情境的开放性、探索性问题,杜绝人为编造的繁难计算题和证明题。
    ()内容结构
    1.各能力层级试题比例:了解约占10%,理解约占20%,掌握约占60%,灵活运用约占10%.
    2. 各知识板块试题比例:数与代数约占50%,空间与图形约占35%,统计与概率约占15%,考试内容覆盖面要求达到《课程标准》规定内容的80%。。
()难度结构
试卷整体难度控制在0.70-0.80之间,容易题约占70%,稍难题约占15%,较难题约占15%。
   
四、题型示例

A

 
B
C
D
(1)
(一)选择题

 

例1 如图,在ABCD中,AC平分∠DABAB = 3,
ABCD的周长为
A.6                                          B.9        
C.12                                         D.15
【答案】C.
【说明】本题属于“图形与几何”板块内容,能力要求为“掌握”层级,预估难度为0.80~0.90,为容易题.
2 函数的自变量的取值范围是(   ) 
A.      B.     C.且    D.且
【答案】C.
【说明】本题属于“数与代数”板块内容,能力要求为“掌握”层级,预估难度为0.70~0.80,为稍难题.
310名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛,他们的身高(单位:cm)如下表所示:
 
队员1
队员2
队员3
队员4
队员5
甲队
177
176
175
172
175
乙队
170
175
173
174
183
设两队队员身高的平均数依次为,,身高的方差依次为,,则下列关系
中完全正确的是(   )
A.,                               B.,  
C.,                     D.,   
【答案】B.
【说明】本题属于“统计与概率”板块内容,能力要求为“掌握”层级,预估难度为0.70~0.80,为稍难题.
4 如图,点是以线段为公共弦的两条圆弧的中点,,点分别是线段上的动点,设,则能表示与的函数关系的图象是(   )  
 

例4图

 

 

 
 
【答案】C.
【说明】本题属于“数与代数”与“图形与几何”板块内容综合题,能力要求为“灵活运用”层级,预估难度为0.50~0.60,为较难题.
 
(二)填空题
     5 方程x+1=2的解是  
【答案】 .
【说明】本题属于“数与代数”板块内容,能力要求为“掌握”层级,预估难度为0.80~0.90,为容易题.
6 某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,
它的高AO = 8米,母线AB与底面半径OB的夹角为,,则圆锥的底面积是       平方米(结果保留π
【答案】 .
【说明】本题属于“图形与几何”板块内容,能力要求
为“掌握”层级,预估难度为0.80~0.90,为容易题.
7某电视台在2013年春季举办的青年歌手大奖赛活动中,得奖选手由观众发短信投票产
生,并对发短信者进行抽奖活动一万条短信为一个开奖组,设一等奖1名,二等奖3名,三等奖6名.王小林同学发了一条短信,那么他获奖的概率是________
【答案】 .
【说明】本题属于“统计与概率”板块内容,能力要求为“掌握”层级,预估难度为0.70~0.80,为稍难题.
(三)解答题
例8 计算: +×30°.
【答案】原式= .
【说明】本题属于“数与代数”板块内容,能力要求为“掌握”层级,预估难度为0.80~0.90,为容易题.
9

C

 
D
B
A
(第9题图)
33°
如图,小明欲利用测角仪测量树的高度.已知他离树的水平距离BC为10m,测角仪的

 

高度CD为1.5m,测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB
(参考数据:sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)
【答案】过点DDEAB,垂足为E
在Rt△ADE中,DEBC10ADE=33°,
所以.
ABAEBEAECD6.5+1.5=8(m).
答:树的高度AB约为8 m.
【说明】本题属于“数与代数”板块内容在求解实际问题中的应用,能力要求为“掌握”层级,预估难度为0.70~0.80,为稍难题.
10 如图①,在 中,点、是对角线上两点,且.
求证:.

(例10题图①)

 
C
A
 
B
 
D
E
F
O
(例10图②)
 

 

 
 
 
 
 
 

【答案】如图②所示,连接BD交AC于O点.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以OA=OC,OB=OD.
又AE=CF,所以OE=OF,四边形BEDF是平行四边形 
所以∠EBF=∠EDF.
【说明】本题属于“图形与几何”板块内容,能力要求为“掌握”层级,预估难度为0.70~0.80,为稍难题.
11 在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字1,2,3,4的小球,它们的形状、大小、质地等完全相同.小明先从盒子里随机取出一个小球,记下数字为x;放回盒子摇匀后,再由小华随机取出一个小球,记下数字为y.
(1)用列表法表示出(x,y)的所有可能出现的结果;
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在反比例函数的图象上的概率;
(3)求小明、小华各取一次小球所确定的数x、y满足的概率.
    【答案】(1)用列表法表示出(x,y)的所有可能出现的结果如下:
x
y
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
 
(2)可能出现的结果共有16个,它们出现的可能性相等.
满足点(x,y)落在反比例函数的图象上(记为事件A)的结果有3个,即(1,4),(2,2),(4,1),所以PA)= .
(3)能使x,y满足  (记为事件B) 的结果有5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以PB)= .
【说明】本题属于“统计与概率”与“数与代数”板块内容综合题,能力要求为“掌握”层级,预估难度为0.60~0.70,为较难题.
12 如图①,在平面直角坐标系中,点在直线上,过B点作轴的垂线,垂足为AOA=5.若抛物线过点、
1)求该抛物线的解析式;
(2)若A点关于直线的对称点为C,判断点是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)如图②,在(2)的条件下,圆是以为直径的圆.过原点作圆的切线,为切点(点与点不重合).抛物线上是否存在一点,使得以为直径的圆与圆相切?若存在,求出点的横坐标,若不存在,请说明理由.

(12图②)

 
(12图①)

 

 
 
 
 
 
 
 
 
【答案】(1)把、分别代入,得
由此解得
故该抛物线的解析式为   
(2)点在该抛物线上.理由如下:
如图③,过点轴于点 ,连结,设与相交于点.
因为点在直线上,所以点的坐标为 .
又点、关于直线对称,
 所以 ,, ,
又轴,由勾股定理得
因为
所以 ,
,,
又,
所以 ,. 
所以 ,,
所以点的坐标为
当时,.
故点在抛物线上.             
(3)抛物线上存在点,使得以为直径的圆与圆相切.
过点轴于点;连结;过点轴于点.
则∥∥.
因为,,
点是的中点,由平行线分线段成比例定理得
.
所以,

(例12图③)

 
同理可得 .

 

故点的坐标为.                  
因为,所以为圆的切线.
又为圆的切线,
所以,
四边形为正方形,,.
又=
所以≌
所以 ,,.
设直线的解析式为,把、分别代入,得      由此解得,    
所以,直线的解析式为   
若以为直径的圆与圆相切,
则点为直线与抛物线的交点.
设点的坐标为  
则有,.
所以 .
整理得
解得
所以,点的横坐标为或
【说明】本题属于“数与代数”和“空间与图形”两板块内容综合题,能力要求为“灵活运用”层级,预估难度为0.40~0.50,为较难题.
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